Lineare gleichungen zeichnerisch lösen

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Bei linearen Gleichungssystemen (kurz: LGS) hast du mehrere Gleichungen gegeben, in denen zwei oder mehr unbekannte Variablen vorkommen. Ein lineares Gleichungssatz mit 2 Unbekannten könnte zum Beispiel so aussehen:

Es besteht aus zwei Gleichungen, die jeweils zwei Variablen enthalten – in unserem Fall sind das und . Beim LGS lösen ist dein Ziel, Werte für die Variablen zu finden, sodass beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind:

Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie du lineare Gleichungssysteme lösen kannst:

Wie du auf die Lösungen linearer Gleichungssysteme kommst, zeigen wir dir für alle Verfahren an ausführlichen Beispielen.

Lineare Gleichungen Gleichsetzungsverfahren

Wenn beide Gleichungen in deinem linearen Gleichungssystem schon nach der selben Variable aufgelöst sind, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.

Das ist hier der Fall:

1. Gleichungen gleichsetzen: Beide Gleichungen sind nach aufgelöst, also setzt du siehe gleich. 

2. Nach Variable auflösen: Das musst du nach x auflösen.

So bekommst du als ersten Teil die Lösung .

3. Andere Variable berechnen: setzt du in ein, um zu berechnen.

Das LGS wird also mittels gelöst.

4. Ergebnis überprüfen: Überprüfe dein Ergebnis, indem du beide Variablen in einsetzt.

5. Lösungsmenge aufstellen: Jetzt muss du die Lösungsmenge formulieren. Die Lösung ist dabei ein Punkt mit den Koordinaten und — den schreibst du einfach hinter in eine geschwungene Klammer. 

Das kannst du auch graphisch darstellen:

Lineare Gleichungssysteme Einsetzungsverfahren

Wenn nur eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst ist, bietet sich das Einsetzungsverfahren an.

Das ist hier der Fall:

Gleichung ist schon nach gelöst, also setzt du in ein – daher auch Einsetzungsverfahren.

1. Term einer Variable in anderen Term einsetzen:

2. Nach Variable auflösen: Du musst den kombinierten Term nach auflösen (y = …). 

Du bekommst so hervor, dass ist. 

3. Andere Variable berechnen: Setze in , ein. So berechnest du .

Um das lineare Gleichungssatz berechnen, brauchst du .

4. Ergebnis überprüfen: Setze beide Variablen in ein. 

5. Lösungsmenge aufstellen: Du weißt, dass und die Lösung für das lineare Gleichungssystem ist. 

Lineare Gleichungssysteme Additionsverfahren

Wenn die Gleichungen „entgegengesetzte“ Terme enthalten, verwendest du das Additionsverfahren . 

Das ist hier zum Beispiel der Fall, weil in und in enthalten sind.  

Du rechnest und zusammen, um das lineare Gleichungssystem zu lösen – du führst eine Addition durch, deshalb auch Additionsverfahren.

1. Gleichungen addieren: Du rechnest . Alles, was links vom steht, schreibst du links und alles, was rechts steht, rechts.

2. Nach Variable auflösen: Die entgegengesetzten Terme und heben sich auf, also bleibt als Variable nur . Danach löst du auf.

3. Andere Variable berechnen: Setze in   ein, um an berechnen.

4. Ergebnis überprüfen: Setze beide Variablen in ein.

5. Lösungsmenge aufstellen: Bilde die Lösungsmenge für das LGS.

Jetzt kennst du also drei Verfahren, mit denen du lineare Gleichungssysteme lösen kannst. Super!

Gleichungssysteme lösen – Besonderheiten

Es könnte auch passieren, dass dir zwei Spezialfälle beim Lösen von linearen Gleichungssystemen begegnen. Ein lineares Gleichungssatz kann nämlich gar keine oder unendlich viele Lösungen haben. Schauen wir uns dazu je ein Beispiel an.

Lineare Gleichungssysteme Aufgaben

Das Beste bei so einem schwierigen Thema ist es, wenn du selbst etwas durchrechnest. Schau dir deshalb unbedingt auch noch unser Video zum Thema Lineare Gleichungssysteme Aufgaben an! Da anzeigen wir dir, wie lineare Gleichungssysteme noch aussehen können und erklären dir nochmal genau, wie du an die Lösungen kommst.

Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen

Ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen nennst du ein -System — dabei hast du 2 Geradengleichungen und 2 Unbekannte. Es gibt aber auch lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Variablen. Ein lineares Gleichungssystem mittels 3 Variablen nennst du dann ein -Gleichungssystem. Schauen wir uns mal ein Beispiel für so einer System an, das aus drei Gleichungen mit 3 Unbekannten besteht. 

Du löst es, indem du schrittweise das Variablen eliminierst. 

1. Erste Variable eliminieren: Wenn du genau hinsiehst, entdeckst du, dass und jeweils und enthalten. Deswegen wendest du  auf und das Additionsverfahren an und rechnest sie zusammen, um loszuwerden. 

schreibst du anstelle von in das LGS.

2. Zweite Variable eliminieren: Jetzt musst du auch und so addieren, dass wegfällt. Davor musst du eine Multiplikation durchführen, damit sich die Vorfaktoren von gleichen. Hier multiplizierst du mit -0,25. Dann heben sich die aus und   auf. 

Du addierst und , damit sich und aufheben.

schreibst du statt in das lineare Gleichungssystem.

3. Terme kombinieren: und enthalten beide nur und . Löse jetzt nach auf und setze in einer, um einen Zahlenwert für zu erhalten.

in :

4. Einen Zahlenwert einsetzen:  So weißt du, dass ist und setzt das in   ein, um auch einen Zahlenwert für zu bekommen.

5. Beide Zahlenwerte einsetzen: Um zu erhalten setzt du und in ein.

6. Ergebnis überprüfen: Du siehst so, dass  ist. Wenn du dir unsicher bist, ob du das LGS mit 3 Unbekannten richtig gelöst hast, setzt du deine Ergebnisse in eine der drei Gleichungen, hier , ein.

7. Lösungsmenge aufstellen: Zuletzt schreibst du das Lösungsmenge hin.

Gauß-Algorithmus

Es gibt noch eine weitere Möglichkeit, wie du lineare Gleichungssysteme lösen kannst — den Gauß-Algorithmus. Zu dem Thema haben wir auch ein Video für dich vorbereitet. Schau es dir jetzt unbedingt noch an! Dann weißt du wirklich ganz genau, wie du lineare Gleichungssysteme lösen kannst.